前述の通り、まずは数学を思い出していくことを考えます。個人的に一番思い出しやすそうな、リー代数から始めることにします。
有限次元半単純リー代数を生成元と関係式で記述する方法を思い出すことを、最初の目標とします。これは Introduction to Lie Algebras and Representation Theory (Graduate Texts in Mathematics) の Chapter 18 の内容です。
ひとまず、関連事項を整理します。ルート系(root system)の定義から。
を有限次元ユークリッド空間(すなわち、体 上の有限次元ベクトル空間で、内積が定義されている)とします。内積は と書くことにします。
ルート系の定義を述べる準備として、鏡映について述べます。
の部分空間 が超平面(hyperplane)とは、 を満たすことです。超平面 に関する鏡映(reflection)とは、 と直和分解したとき、線型変換 : (, )のことです。
について、超平面 を と定義し、鏡映 を に関する鏡映として定義します。簡単な計算で、(ただし、)が分かります。
準備ができたので、定義を述べます。
の部分集合 がルート系(root system)であるとは、次を満たすことです。
- (R1) は を含まない有限集合で、 を張る。
- (R2) について、。
- (R3) について、。
- (R4) について、。
なぜこのような集合を考えるかといえば、リー代数のルート集合がこの条件を満たすからです。さらに実は、任意のルート系について対応するリー代数が存在することも示されます。