ワイル群

前回、ルート系の底を考えましたが、底同士の関連の議論を残していました。

底同士は、実はワイル群の元（線型同型変換の１つ）でうつりあいます。

その証明のあらすじを書こうかと思っていましたが、省略して結果だけにしておきます。

をユークリッド空間 のルート系とします。

が生成する の部分群 を、 のワイル群（Weyl group）といいます。

なお、ルート系 と が同型なら、それらのワイル群も同型です。ここで、ルート系が同型とは、、 を満たす線型同型写像 が存在することです。

ルート系の底とワイル群について、次のことが成り立ちます。

と をルート系 の底とします。このとき、 を満たす が存在します。

これを示すのは、やや面倒な議論（といっても、根本的に難しいわけではない）が必要になります。ここに書くのは省略しようと思います。