カルタン行列 - usami-k 数学日記

ルート系の同型の定義が前回ありました。

実は、２つのルート系が同型であるためには、それぞれのルート系の底同士についてだけ一定の条件を満たせば良いです。ルート系の底から定義されるカルタン行列が、ルート系の同型を与えます。

$\Delta$ をユークリッド空間 $V$ のルート系、 $\Pi$ を $\Delta$ の底の１つとします。

底 $\Pi$ の元について、適当に $\Pi = (\alpha_1, \cdots, \alpha_n)$ と番号付けします。このとき、行列 $(c_{ij})$ （ $c_{ij} := c(\alpha_i, \alpha_j)$ ）をカルタン行列（Cartan matrix）といいます。なお、 $c(\alpha, \beta)$ はルート系の定義のときに導入したものです。

カルタン行列は、底の番号付けのしかたに依存します。２つのカルタン行列が添字の置換で一致する場合、それらは同型であると定義しておきます。カルタン行列は、同型を除いて底の取り方には依存しません。それは、底同士が内積を変えない変換で移りあうからです。

さて実は、２つのルート系が同型であることと、それらのカルタン行列が同型であることは同値です。

つまり、 $c(\alpha, \beta)$ が底について一致すれば、ルート系全体で一致する、ということです。これは、ワイル群が実は $\{ \sigma_\alpha | \alpha \in \Pi \}$ で生成される（ルート系 $\Delta$ でなく、その底 $\Pi$ でよい）、ということ（これは前回書いていませんが）から導くことができます。

また、カルタン行列だけ与えられたとき、その情報からルート系を簡単な方法で完全に構成できます。

余談になりますが、このことは、カルタン行列を先に公理的に定義して、そこからルート系を定義する、という議論の可能性を示唆しています。実際、generalized Cartan matrix の定義から始める Kac-Moody Lie algebra の議論がそうです。