リー代数にはいわゆる普通の積がありません。しかし、普通の積を考えた方が便利な場合もあります。そこで、リー代数を自然に拡張したような、うまい結合代数を構成することにします。
それが、普遍包絡環（universal enveloping algebra）と呼ばれるものです。
をリー代数、
を
加群とすると、次が成り立ちました（定義の条件の１つでした）。
（
、
）
この式をぱっと見ると、 というものが
に作用しているような気もします。実際には
というものは
には存在しませんし、
は
という意味しか持たないのですが。
といっても、表現の言葉を使えば（表現を とすると）、
は
となります。こういう形で見ると、
というものはあります（この場合の積は、リー代数ではなく、結合代数
上の積です）。そう考えると、
というものの存在を認めてやってもいいような気がしてきます。
これを認めてやるには、テンソル積を考えればうまくいきます。もちろん、単純にテンソル積だけではだめですが、 という関係式を入れてやれば良いです。具体的な記述は次回に。
