さて、代数多様体の定義から入ります。代数多様体とは、いくつかの変数をもった、いくつかの多項式の共通の零点のつくる集合です。
・・・と、あっさり言われてもピンときません。多項式は分かりますが、零点の集合というのがイメージがつかめません。幾何のイメージに弱いかも・・・。とりあえず具体例を考えてみます。
具体例は、2変数、1多項式で考えます。
まず、 を考えます。この零点の集合というと、
の解の集合です。つまり、半径 1 の円ですかね。実数の範囲なら。
ところが、代数多様体は複素数の範囲で考えたいようです。まあ、代数的な扱いを考えるなら、代数的閉体で考えた方が都合がよさそうなことは想像がつきます。しかしそうすると、 の解の集合というのはあまりピンときませんね・・・。
とりあえず、2変数の場合の代数多様体というのは の部分集合になるわけだな。
では、別の例として を考えます。零点は、実数の範囲では
しかありませんが、複素数の範囲では多くあります。
ですから、零点集合は
であらわされる線型部分空間と
であらわされる線型部分空間との和です。
うーん、少しは見えてきた？ まあ、後でもう少し詳しく見るようなので、どんどん先に進むことにします。
