キリング形式 勉強ノート

前回 の続きで、「はじめて学ぶリー環」の第3章「随伴表現」を読みました。

キリング形式の具体的な計算をあんまりやったことがなかったので、実際にやってみました。一般線型リー代数 \mathfrak{gl}(n,\mathbb{K}) のキリング形式については、計算が書いてある本はいくつかありました。

直交リー代数 \mathfrak{o}(n,\mathbb{K}) のキリング形式については、結果だけが書かれていて具体的な計算は見つけられませんでした。実際の計算のときには、\mathfrak{gl}(n,\mathbb{K}) と違って、変換 z \mapsto x^2 z が \mathfrak{o}(n,\mathbb{K}) 内の変換ではないので変換 z \mapsto x^2 z + z x^2 を考える必要があることを注意すべきだと思います。僕も最初そこを勘違いしてしまいましたが、翌日のノートで修正しています。

有限次元リー代数が半単純であることとキリング形式が非退化であることとは同値ですが、その証明は「はじめて学ぶリー環」ではしていません。そのへんをすっ飛ばしてさっさとルートの話に進むのは、悪くないと感じます。

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