リー代数のルート - usami-k 数学日記

半単純リー代数は、カルタン部分代数を軸に、ルート空間分解という直和分解が可能です。この分解がリー代数の構造を見通し良く表します。

$\mathfrak{g}$ を標数0の代数的閉体 $K$ 上の半単純リー代数、 $H$ を $\mathfrak{g}$ のカルタン部分代数とします。

$H$ が可換であることから、 $ad(H)$ が可換であることが分かります（ヤコビの恒等式より）。したがって、 $ad(H)$ は同時対角化可能（同じ基底で対角化できる）です。

同時固有空間分解を考えると、 $\mathfrak{g} = \oplus \mathfrak{g}_\alpha$ という直和分解ができます。ここで、 $\mathfrak{g}_\alpha := \{ x \in \mathfrak{g} | \forall h \in H, [h,x] = \alpha(h)x \}$ 、 $\alpha : H \to K$ です。