ルート系の底 - usami-k 数学日記

前回、ルート系の定義を確認しました。今回はルート系の底（base）の定義をみます。

今考えているのはベクトル空間なので、基底を考えたいというのが自然な発想です。ただ、ルート系は単なる部分集合であって部分空間ではないので、ルート系の基底というものはありません。しかし、基底に近いものはあります。

$\Delta$ をユークリッド空間 $V$ のルート系とします。

$\Pi \subset \Delta$ が $\Delta$ の底（base）であるとは、次を満たすことです。

(B1) $\Pi$ は $V$ の基底。
(B2) $\beta \in \Delta$ について、 $\beta = \sum_{\alpha \in \Pi} k_\alpha \alpha$ と表したとき、 $k_\alpha$ は全て 0 以上の整数になるか、全て 0 以下の整数になるか、いずれかが成り立つ。

(B2) の条件がちょっと変わった条件です。これによって、ルート（ルート系の元）は、正のルート（positive root）と負のルート（negative root）に分けることができます。これがルート系を使う上で重要な点です。

任意のルート系に底が存在するかどうか（つまり、(B2) を満たすような都合の良いものがあるかどうか）は、定義からは明らかではありません。しかし、内積を使った少しの議論で、存在することは示すことができます。

底は一意に存在するわけではありません（それは、例えばルート系の対称性を考えても当たり前）。しかし、底同士は、内積を保つ（角度を保つ）線型同型変換でうつりあうことが分かります。この議論は次回みていきたいと思います。