sl(2) の表現（前編） - usami-k 数学日記

ここで、具体的なリー代数を対象に見ていきたいと思います。といっても、特殊なものを見るわけではありません。

sl(2) は、全てのリー代数の基本となる構造であり、理論の基盤となるものです。

$\mathcal{sl}(2)$ は次で定まるリー代数です。

$\mathbb{C}$ 上の 3 次元ベクトル空間です。
基底 , , の間の括弧積が次で与えられます。
- $[x,y] = h$
- $[h,x] = 2x$
- $[h,y] = -2y$

これは、実は $A_1$ 型のリー代数です。

このとき、括弧積の定義から $ad(h)$ は半単純、 $ad(x)$ と $ad(y)$ は巾零です。したがって、カルタン部分代数 $H$ は $h$ で張られる 1 次元部分代数です。

$V$ を有限次元の $\mathcal{sl}(2)$ 加群とします。前回定義したウェイト $\lambda$ : $H \to \mathbb{C}$ を考えます。今回は $H$ が 1 次元なので、 $\lambda$ を単なるスカラーと思っても構いません。

このとき、次が成り立ちます。

$v \in V_\lambda$ ならば、 $x.v \in V_{\lambda + 2}$ 、 $y.v \in V_{\lambda - 2}$ となる。

これは、実際 $h$ を作用させればすぐ分かります。

いま $V$ は有限次元なので、 $V_\lambda \neq 0$ 、 $V_{\lambda + 2} = 0$ となる $\lambda$ がとれます。 $v_0 \in V_\lambda$ を１つ取り、 $v_i := \frac{1}{i!} y^i.v_0$ （ $i \geq 0$ ）と定義します。このとき、上記のことから $v_i \in V_{\lambda - 2i}$ です。

このとき、 $i \geq 0$ について次が成り立ちます（ただし、便宜上 $v_{-1} := 0$ と定義しておきます）。

(a) $y.v_i = (i + 1) v_{i + 1}$

(b) $h.v_i = (\lambda - 2i) v_i$

(c) $x.v_i = (\lambda - (i - 1)) v_{i - 1}$

これも、実際に計算してみればすぐ分かります。

$V$ は有限次元なので、 $v_0 , \cdots , v_m \neq 0$ 、 $v_{m + 1} = 0$ となる $m$ が存在します。(a) より $v_{m + 1} , v_{m + 2} , \cdots = 0$ です。(c) より $x.v_{m + 1} = (\lambda - m)v_m$ ですから、 $\lambda = m$ です。