リー代数のウェイト - usami-k 数学日記

しばらく、リー代数のウェイトについて見たいと思います。
まずは定義を確認します。

$\mathcal{G}$ をリー代数とします。ベクトル空間 $V$ が $\mathcal{G}$ 加群（module）であるとは、演算 $\mathcal{G} \times V \to V$ : $(x, v) \mapsto x.v$ が与えられて次を満たすことです。

(M1) $(ax + by).v = a(x.v) + b(y.v)$
(M2) $x.(av + bw) = a(x.v) + b(x.w)$
(M3) $[x,y].v = x.y.v - y.x.v$

これは、表現（representation） $\rho$ : $\mathcal{G} \to gl(V)$ が与えられて $x.v := \rho(x)v$ と定義することと同値です。そこで、そのときどきで、加群の言葉と表現の言葉との都合のいいほうを使うことにします。

さて、 $\mathcal{G}$ を半単純リー代数、 $\mathcal{H}$ をそのカルタン部分代数とします。また、 $V$ を $\mathcal{G}$ 加群とします。
このとき、 $\lambda \in \mathcal{H}^\ast$ について、 $V_\lambda := \{ v \in V | \forall h \in \mathcal{H}, h.v = \lambda(h)v \}$ と定義します。 $V_\lambda \neq 0$ のとき、 $\lambda$ をウェイト（weight）と呼びます。

$\mathcal{G}$ 自身も、随伴表現で $\mathcal{G}$ 加群になります。このときのウェイトはルートに他なりません（リー代数のルートの定義を参照）。